Uncategorized – L E R N

Eksponen Pecahan

May 26, 2026

Eksponen pecahan adalah bentuk pangkat yang nilai eksponennya berupa pecahan. Eksponen menunjukkan berapa kali suatu bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri. Misalnya:

$4^2 = 4 \times 4 = 16$

Pada contoh di atas, angka 2 adalah eksponen bilangan bulat. Sedangkan pada bentuk seperti: $x^\frac{1}{y}$ nilai $\frac{1}{y}$ disebut eksponen pecahan.

Artikel ini membahas pengertian eksponen pecahan, aturan-aturannya, cara penyederhanaannya, eksponen pecahan negatif, serta beberapa contoh soal.

Apa Itu Eksponen Pecahan?

Eksponen pecahan adalah cara menuliskan bentuk pangkat sekaligus akar dalam satu notasi.

Pada bentuk umum:

$a^b$

$a$ disebut basis dan $b$ disebut eksponen. Jika eksponennya berupa pecahan, maka disebut eksponen pecahan. Misalnya, $2^\frac{1}{2},3^\frac{2}{3}$

Bentuk umum eksponen pecahan adalah:

$x^\frac{m}{n}$

dengan $x$ = basis dan $\frac{m}{n}$ = eksponen pecahan.

Makna Eksponen Pecahan

$\frac{1}{2}$ disebut akar kuadrat dan ditulis $\sqrt{a}$
$\frac{1}{3}$ disebut akar kubik dan ditulis $\sqrt[3]{a}$
$\frac{1}{4}$ disebut akar pangkat empat dan ditulis $\sqrt[4]{a}$

Hubungan umumnya adalah:

$x^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{x^m}$

Aturan Eksponen Pecahan

Terdapat beberapa aturan penting untuk operasi eksponen pecahan.

1. Perkalian dengan basis sama

$a^\frac{1}{m}\times a^\frac{1}{n}=a^{\left(\frac1m+\frac1n\right)}$

2. Pembagian dengan basis sama

$a^\frac{1}{m}\div a^\frac{1}{n}=a^{\left(\frac1m-\frac1n\right)}$

3. Perkalian dengan eksponen sama

$a^\frac{1}{m}\times b^\frac{1}{m}=(ab)^\frac{1}{m}$

4. Pembagian dengan eksponen sama

$a^\frac{1}{m}\div b^\frac{1}{m}=\left(\tfrac ab\right)^\frac1m$

5. Eksponen pecahan negatif

$a^{-\frac{m}{n}}=\left(\frac1a\right)^\frac{m}{n}$

Menyederhanakan Eksponen Pecahan

Contoh 1

Sederhanakan:

$\sqrt[3]{8}=8^\frac{1}{3}$

Karena:

$8=2^3$

maka:

$(2^3)^\tfrac13=2$

Jadi:

$\sqrt[3]{8}=2$

Contoh 2

Sederhanakan:

$\left(\tfrac{64}{125}\right)^\tfrac23$

Karena:

$64=4^3,\qquad125=5^3$

maka:

$\left(\frac{4^3}{5^3}\right)^\tfrac23$

menjadi:

$\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}$

Jadi hasil akhirnya:

$\frac{16}{25}$

Perkalian Eksponen Pecahan

Jika basis sama, eksponen dijumlahkan.

Contoh:

$2^\frac{2}{3}\times 2^\frac{3}{4}$

Jumlahkan eksponen:

$\frac23+\frac34=\frac{17}{12}$

Sehingga:

$2^\frac23\times2^\frac34=2^\frac{17}{12}$

Pembagian Eksponen Pecahan

Basis sama

$5^\frac34\div5^\frac12=5^{(\frac34-\frac12)}$

hasilnya:

$5^\frac14$

Eksponen sama

$9^\frac56\div3^\frac56=\left(\tfrac93\right)^\frac56$

hasilnya:

$3^\frac56$

Eksponen Pecahan Negatif

Eksponen negatif berarti kita mengambil kebalikan (resiprokal) dari basis. Misalnya:

$343^{-\frac{1}{3}}$

ubah menjadi:

$345^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{345^{\frac{1}{3}}}$

Karena:

$343=7^3$

maka:

$343^\frac{1}{3} = (7^3)^\frac{1}{3} = 7$

Jadi hasil akhirnya:

$\frac{1}{7}$

CONTOH SOAL

Contoh 1

Hitung $18^\frac12\div2^\frac12$

Karena eksponennya sama:

$\left(\tfrac{18}{2}\right)^\frac12=9^\frac12=3$

Jadi hasilnya:

3

Contoh 2

Hitung $2^\frac{1}{2}\times4^\frac14\times8^\frac18$

Karena $4=2^2,\,8=2^3$ maka $2^\frac12\times2^\frac12\times2^\frac38$

Jumlahkan eksponen:

$\frac12+\frac12+\frac38=\frac{11}{8}$

Hasil:

$2^\frac{11}{8}$

Contoh 3

Hitung $3^\frac23\div9^\frac12$

Karena $9^\frac12=3$ maka $3^\frac23\div3^1=3^{-\frac13}$

FAQ SINGKAT

Apa arti eksponen pecahan?

Eksponen pecahan berarti pangkat suatu bilangan ditulis dalam bentuk pecahan.

Apa aturan utamanya?

Pembilang menunjukkan pangkat, penyebut menunjukkan akar.

$x^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{x^m}$

Bagaimana jika eksponennya negatif?

Balik basis menjadi kebalikannya lalu hilangkan tanda negatif.

Bisakah eksponen pecahan dijumlahkan?

Tidak ada aturan khusus penjumlahan. Biasanya masing-masing bentuk disederhanakan terlebih dahulu.

Contoh:

$9^\frac12+125^\frac13=3+5=8$

Seorang siswa perempuan berdiri di depan papan tulis dengan dahi menyentuh permukaannya, tampak kesulitan memahami soal matematika berupa pecahan dan pembagian.

iStock

Bilangan berpangkat pecahan adalah cara menuliskan akar dalam bentuk pangkat. Misalnya, akar pangkat $n$ dari $a^m$ dapat ditulis sebagai $a^{\frac{m}{n}}$. Konsep ini memudahkan operasi matematika karena aturan pangkat tetap berlaku, sehingga perhitungan akar lebih sederhana dan konsisten. Bagaimanakah cara menyatakan akar dalam bentuk bilangan berpangkat pecahan?

Eksplorasi

Menyatakan akar dalam bentuk bilangan berpangkat pecahan. Kerjakanlah pada buku latihanmu. Misalnya, $\sqrt[n]{a^m} = a^p$. Pangkatkan kedua ruas dengan $n$.

\[
\left( \sqrt[n]{a^m} \right)^n = \left(a^p \right)^n \leftrightarrow a^m = a^…
\]
Perhatikan pangkat dari $a$ pada kedua ruas tersebut dimana $m = \cdots$ dan nyatakan $p$ dalam $m$ dan $n$.
\[
\cdots = pn \leftrightarrow p= \cdots
\]

Dapatkah kamu menyatakan $p$ dalam $m$ dan $n$? Setelah melakukan kegiatan tersebut, kamu akan memperoleh kesimpulan bahwa $\sqrt[n]{a^p}$ dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat pecahan, yaitu $a^{\frac{p}{n}}$. Sifat-sifat yang dimiliki oleh bilangan berpangkat pecahan antara lain sebagai berikut.

$a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}=(ab)^{\frac{1}{n}}$

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\left( \frac{a}{b} \right)^{\frac{1}{n}}$

$\left( a^{\frac{1}{n}} \right)^n=\left( \sqrt[n]{a} \right)^n= a$

Bilangan berpangkat pecahan menyatukan konsep pangkat dan akar, membuka cara baru memahami keteraturan matematika. Dengan menguasainya, siswa belajar menulis operasi akar lebih ringkas, melatih logika, dan menyiapkan diri menghadapi topik lanjut seperti logaritma serta eksponen.

Persamaan Kuadrat

May 22, 2026

Bentuk umum dari Persamaan Kuadrat dinyatakan sebagai:

$ax^2 + bx + c = 0$

di mana $a, b, \text{dan } c $ adalah konstanta (dengan $a \neq 0 $) dan $x$ adalah variabel yang tidak diketahui. Untuk mencari nilai $x$, kita menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna untuk menurunkan rumus kuadrat (rumus ABC).

1. Pindahkan Konstanta dan Normalisasi Koefisien Utama

Pindahkan konstanta $c $ ke ruas kanan:

$$ax^2 + bx = -c$$

Bagi seluruh persamaan dengan $a $ agar koefisien $x^2$ menjadi $1$:

$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk membentuk trinomial kuadrat sempurna di ruas kiri, tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas. Koefisien

$x$ adalah $\frac{b}{a}$, maka kita tambahkan $(\frac{b}{2a})^2$:

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

Tulis ulang ruas kiri sebagai bentuk kuadrat binomial dan sederhanakan ruas kanan:

$$
\begin{aligned}
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \\[8pt]
&= \frac{-4ac + b^2}{4a^2} \\[8pt]
&= \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}
\end{aligned}
$$

3. Mencari Nilai $x$

Tarik akar kuadrat dari kedua ruas, dengan menyertakan hasil positif dan negatif:

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 – 4ac}{4a^2}}$$

Sederhanakan akar kuadrat pada bagian penyebut:

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

Isolasi $x$ dengan memindahkan $\frac{b}{2a}$ ke ruas kanan:

$$
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \\[8pt]
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{aligned}
$$

Istilah $b^2 – 4ac$ dikenal sebagai diskriminan ($D$), yang menentukan sifat dari akar-akar persamaan tersebut.

Solusi umum untuk persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0 $ adalah:

$$\boxed{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}}$$

$\ce{Fe^{II}Fe^{III}2O4}$
$\ce{A ->[H2O] B}$
$\ce{x Na(NH4)HPO4 ->[\Delta] (NaPO3)_x + x NH3 ^ + x H2O}$

$\ce{$K = \frac{[\ce{Hg^2+}][\ce{Hg}]}{[\ce{Hg2^2+}]}$}$

$\ce{Zn^2+ <=>[+ 2OH-][+ 2H+] $\underset{\text{amphoteres Hydroxid}}{\ce{Zn(OH)2 v}}$ <=>[+ 2OH-][+ 2H+] $\underset{\text{Hydroxozikat}}{\ce{[Zn(OH)4]^2-}}$}$

$$
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n \cos \frac{n\pi x}{L}
+
b_n \sin \frac{n\pi x}{L}
\right)
$$

$
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
$

$$
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 2 & 5 \\
3 & 4 & 6
\end{array}
\right]
$$

$$
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi
=
\hat{H}\Psi
$$

Eksponen Pecahan

Bilangan Berpangkat Pecahan

Persamaan Kuadrat

L E R N

Community

Resources

Help

Course

Quotes