Eksponen Pecahan

Eksponen pecahan adalah bentuk pangkat yang nilai eksponennya berupa pecahan. Eksponen menunjukkan berapa kali suatu bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri. Misalnya:

\(4^2 = 4 \times 4 = 16\)

Pada contoh di atas, angka 2 adalah eksponen bilangan bulat. Sedangkan pada bentuk seperti: \(x^\frac{1}{y}\) nilai \(\frac{1}{y}\) disebut eksponen pecahan.

Artikel ini membahas pengertian eksponen pecahan, aturan-aturannya, cara penyederhanaannya, eksponen pecahan negatif, serta beberapa contoh soal.

Apa Itu Eksponen Pecahan?

Eksponen pecahan adalah cara menuliskan bentuk pangkat sekaligus akar dalam satu notasi.

Pada bentuk umum:

\(a^b\)

\(a\) disebut basis dan \(b\) disebut eksponen. Jika eksponennya berupa pecahan, maka disebut eksponen pecahan. Misalnya, \(2^\frac{1}{2},3^\frac{2}{3}\)

Bentuk umum eksponen pecahan adalah:

\(x^\frac{m}{n}\)

dengan \(x\) = basis dan \(\frac{m}{n}\) = eksponen pecahan.

 

Makna Eksponen Pecahan

\(\frac{1}{2}\) disebut akar kuadrat dan ditulis \(\sqrt{a}\)
\(\frac{1}{3}\) disebut akar kubik dan ditulis  \(\sqrt[3]{a}\)
\(\frac{1}{4}\) disebut akar pangkat empat dan ditulis \(\sqrt[4]{a}\)

Hubungan umumnya adalah:

\(x^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{x^m}\)

Aturan Eksponen Pecahan

Terdapat beberapa aturan penting untuk operasi eksponen pecahan.

 

1. Perkalian dengan basis sama

\(a^\frac{1}{m}\times a^\frac{1}{n}=a^{\left(\frac1m+\frac1n\right)}\)

 

2. Pembagian dengan basis sama

\(a^\frac{1}{m}\div a^\frac{1}{n}=a^{\left(\frac1m-\frac1n\right)}\)

 

3. Perkalian dengan eksponen sama

\(a^\frac{1}{m}\times b^\frac{1}{m}=(ab)^\frac{1}{m}\)

 

4. Pembagian dengan eksponen sama

\(a^\frac{1}{m}\div b^\frac{1}{m}=\left(\tfrac ab\right)^\frac1m\)

 

5. Eksponen pecahan negatif

\(a^{-\frac{m}{n}}=\left(\frac1a\right)^\frac{m}{n}\)

 

Menyederhanakan Eksponen Pecahan

 

Contoh 1

Sederhanakan:

\(\sqrt[3]{8}=8^\frac{1}{3}\)

Karena:

\(8=2^3\)

maka:

\((2^3)^\tfrac13=2\)

Jadi:

\(\sqrt[3]{8}=2\)

 

Contoh 2

Sederhanakan:

\(\left(\tfrac{64}{125}\right)^\tfrac23\)

Karena:

\(64=4^3,\qquad125=5^3\)

maka:

\(\left(\frac{4^3}{5^3}\right)^\tfrac23\)

menjadi:

\(\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}\)

Jadi hasil akhirnya:

\(\frac{16}{25}\)

 

Perkalian Eksponen Pecahan

Jika basis sama, eksponen dijumlahkan.

Contoh:

\(2^\frac{2}{3}\times 2^\frac{3}{4}\)

Jumlahkan eksponen:

\(\frac23+\frac34=\frac{17}{12}\)

Sehingga:

\(2^\frac23\times2^\frac34=2^\frac{17}{12}\)

 

Pembagian Eksponen Pecahan

 

Basis sama

\(5^\frac34\div5^\frac12=5^{(\frac34-\frac12)}\)

hasilnya:

\(5^\frac14\)

 

Eksponen sama

\(9^\frac56\div3^\frac56=\left(\tfrac93\right)^\frac56\)

hasilnya:

\(3^\frac56\)

 

Eksponen Pecahan Negatif

Eksponen negatif berarti kita mengambil kebalikan (resiprokal) dari basis. Misalnya:

\(343^{-\frac{1}{3}}\)

ubah menjadi:

\(345^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{345^{\frac{1}{3}}}\)

Karena:

\(343=7^3\)

maka:

\(343^\frac{1}{3} = (7^3)^\frac{1}{3} = 7\)

Jadi hasil akhirnya:

\(\frac{1}{7}\)

 

CONTOH SOAL

 

Contoh 1

Hitung \(18^\frac12\div2^\frac12\)

Karena eksponennya sama:

\(\left(\tfrac{18}{2}\right)^\frac12=9^\frac12=3\)

Jadi hasilnya:

3

 

Contoh 2

Hitung \(2^\frac{1}{2}\times4^\frac14\times8^\frac18\)

Karena \(4=2^2,\,8=2^3\) maka \(2^\frac12\times2^\frac12\times2^\frac38\)

Jumlahkan eksponen:

\(\frac12+\frac12+\frac38=\frac{11}{8}\)

Hasil:

\(2^\frac{11}{8}\)

 

Contoh 3

Hitung \(3^\frac23\div9^\frac12\)

Karena \(9^\frac12=3\) maka \(3^\frac23\div3^1=3^{-\frac13}\)

 

FAQ SINGKAT

Apa arti eksponen pecahan?

Eksponen pecahan berarti pangkat suatu bilangan ditulis dalam bentuk pecahan.

 

Apa aturan utamanya?

Pembilang menunjukkan pangkat, penyebut menunjukkan akar.

\(x^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{x^m}\)

 

Bagaimana jika eksponennya negatif?

Balik basis menjadi kebalikannya lalu hilangkan tanda negatif.

 

Bisakah eksponen pecahan dijumlahkan?

Tidak ada aturan khusus penjumlahan. Biasanya masing-masing bentuk disederhanakan terlebih dahulu.

Contoh:

\(9^\frac12+125^\frac13=3+5=8\)