Persamaan Kuadrat

Bentuk umum dari Persamaan Kuadrat dinyatakan sebagai:

\(ax^2 + bx + c = 0\)

di mana \(a, b, \text{dan } c \) adalah konstanta (dengan \(a \neq 0 \)) dan \(x\) adalah variabel yang tidak diketahui. Untuk mencari nilai \(x\), kita menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna untuk menurunkan rumus kuadrat (rumus ABC).

1. Pindahkan Konstanta dan Normalisasi Koefisien Utama

Pindahkan konstanta \(c \) ke ruas kanan:

$$ax^2 + bx = -c$$

Bagi seluruh persamaan dengan \(a \) agar koefisien \(x^2\) menjadi \(1\):

$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk membentuk trinomial kuadrat sempurna di ruas kiri, tambahkan kuadrat dari setengah koefisien \(x\) ke kedua ruas. Koefisien

\(x\) adalah \(\frac{b}{a}\), maka kita tambahkan \((\frac{b}{2a})^2\):

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

Tulis ulang ruas kiri sebagai bentuk kuadrat binomial dan sederhanakan ruas kanan:

$$
\begin{aligned}
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \\[8pt]
&= \frac{-4ac + b^2}{4a^2} \\[8pt]
&= \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}
\end{aligned}
$$

3. Mencari Nilai \(x\)

Tarik akar kuadrat dari kedua ruas, dengan menyertakan hasil positif dan negatif:

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 – 4ac}{4a^2}}$$

Sederhanakan akar kuadrat pada bagian penyebut:

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

Isolasi \(x\) dengan memindahkan \(\frac{b}{2a}\) ke ruas kanan:

$$
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \\[8pt]
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{aligned}
$$

Istilah \(b^2 – 4ac\) dikenal sebagai diskriminan (\(D\)), yang menentukan sifat dari akar-akar persamaan tersebut.

Solusi umum untuk persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0 \) adalah:

$$\boxed{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}}$$

\(\ce{Fe^{II}Fe^{III}2O4}\)
\(\ce{A ->[H2O] B}\)
\(\ce{x Na(NH4)HPO4 ->[\Delta] (NaPO3)_x + x NH3 ^ + x H2O}\)

\(\ce{$K = \frac{[\ce{Hg^2+}][\ce{Hg}]}{[\ce{Hg2^2+}]}$}\)

\(\ce{Zn^2+ <=>[+ 2OH-][+ 2H+] $\underset{\text{amphoteres Hydroxid}}{\ce{Zn(OH)2 v}}$ <=>[+ 2OH-][+ 2H+] $\underset{\text{Hydroxozikat}}{\ce{[Zn(OH)4]^2-}}$}\)

$$
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n \cos \frac{n\pi x}{L}
+
b_n \sin \frac{n\pi x}{L}
\right)
$$

\(
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
\)

$$
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 2 & 5 \\
3 & 4 & 6
\end{array}
\right]
$$

$$
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi
=
\hat{H}\Psi
$$