Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan berpangkat pecahan adalah cara menuliskan akar dalam bentuk pangkat. Misalnya, akar pangkat \(n\) dari \(a^m\) dapat ditulis sebagai \(a^{\frac{m}{n}}\). Konsep ini memudahkan operasi matematika karena aturan pangkat tetap berlaku, sehingga perhitungan akar lebih sederhana dan konsisten. Bagaimanakah cara menyatakan akar dalam bentuk bilangan berpangkat pecahan?

Eksplorasi

Menyatakan akar dalam bentuk bilangan berpangkat pecahan. Kerjakanlah pada buku latihanmu. Misalnya, \(\sqrt[n]{a^m} = a^p\). Pangkatkan kedua ruas dengan $n$.

\[
\left( \sqrt[n]{a^m} \right)^n = \left(a^p \right)^n \leftrightarrow a^m = a^…
\]
Perhatikan pangkat dari $a$ pada kedua ruas tersebut dimana \(m = \cdots\) dan nyatakan $p$ dalam $m$ dan $n$.
\[
\cdots = pn \leftrightarrow p= \cdots
\]

Dapatkah kamu menyatakan $p$ dalam $m$ dan $n$? Setelah melakukan kegiatan tersebut, kamu akan memperoleh kesimpulan bahwa \(\sqrt[n]{a^p}\) dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat pecahan, yaitu \(a^{\frac{p}{n}}\). Sifat-sifat yang dimiliki oleh bilangan berpangkat pecahan antara lain sebagai berikut.

\(a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}=(ab)^{\frac{1}{n}}\)

\(\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\left( \frac{a}{b} \right)^{\frac{1}{n}}\)

\(\left( a^{\frac{1}{n}} \right)^n=\left( \sqrt[n]{a} \right)^n= a\)

Bilangan berpangkat pecahan menyatukan konsep pangkat dan akar, membuka cara baru memahami keteraturan matematika. Dengan menguasainya, siswa belajar menulis operasi akar lebih ringkas, melatih logika, dan menyiapkan diri menghadapi topik lanjut seperti logaritma serta eksponen.